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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案[ 高考]

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哈师大附中高二下学期月考数学试卷(文)
一、选择题(每题 4 分,共计 40 分)
1.若 f (x) ? x3 , f ?(x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为( )

A.1

B. ?1

C. ?1

D. ? 3

2.若直线的参数方程为

?x

? ?

y

? 1? 2t ? 2 ? 3t

(t为参数)

,则直线的斜率为(

A. 2 3

B. ? 2 3

3.函数 y = x3 + x 的递增区间是( )

C. 3 2


D. ? 3 2

A. (0,??)

B. (??,1)

C. (??,??)

D. (1,??)

4.参数方程

? ? ?

x y

? ?

4 sin ? 5 cos ?

表示的曲线是(

A.焦点在 x 轴上的椭圆

C.过原点的直线

)
B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.圆心在原点的圆

5.方程 x3 ? 6x2 ? 9x ?10 ? 0 的实根个数是( )

A.3

B.2

C.1

D.0

6.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相













.

已知



线

l













? ? ?

x y

? ?

t t

? ?

1(t为参数), 3



C

的极坐标方程是

? ? 4cos? ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ( )

A. 14

B. 2 14

C. 2

D. 2 2

7. f (x) 与 g(x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f (x) , g(x) 满足 f ?(x0 ) ? g?(x) ,则 f (x)

与 g(x) 满足( ) A. f (x) ? g(x)

B. f (x) ? g(x) 为常数函数

C. f (x) ? g(x) ? 0

D. f (x) ? g(x) 为常数函数

8. 对于 R 上可导的任意函数 f (x) ,若满足 (x ?1) f ?(x) ? 0 ,则必有( ) A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
9. 设在函数 y ? xsin x ? cos x 的图象上的点 (x0 , y0 ) 处的切线斜率为 k ,若 k ? g(x0 ) ,则函

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数 k ? g(x0), x0 ????,? ? 的图象大致为( )

10. f (x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时,有 f (x) ? xf ?(x) ? 0 ,且 f (?4) ? 0 ,则不等式

xf (x) ? 0 的 解 集 为 (

) A. (0,4) B. (- ∞ ,-4) C . (- ∞ ,-4) ∪ (0,4)

D.(-4,4) 二、选择题(每题 5 分,共计 20 分)
11. 在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin2 ? ? cos? 和 ? sin? ? 1 .以极点为平面

直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角

坐标为

.

12.在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin? ,过极点的一条直线 l 与圆相交于 O, A 两

点,且 ?AOx ? 45? ,则 OA =________.

13.若点 P(2, ?1) (直角坐标系下的坐标)为曲线 ? 2 ? 2? cos? ? 24 ? 0 (极坐标系下的方程)
的弦的中点,则该弦所在直线的直角坐标方程为________.

14.

已知函数 f (x) =

??????e13x

? x ?1, x ? 0 x3 ? 2x, x ? 0

给出如下四个命题:

① f (x) 在[ 2 ,+∞)上是减函数; ② f (x) 的最大值是 2; ③函数 y ? f (x) 有两个零点;

④ f (x) ≤ 4 2 在 R 上恒成立.其中正确的命题有 3
上) 三、解答题(每题 10 分,共计 40 分)

.(把正确的命题序号都填

15. 已知函数 f (x) ? x ln x .

(1)求函数 f (x) 的单调区间;

(2)求函数 f (x) 在点 (1,0) 处的切线方程.

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16.

已知直线 AB 过定点 (1,0) ,倾斜角为?

,曲线

C

:

?? ?

x

?

6 3

cos?

(?为参数)

?? y ? sin?

(1) 求直线 AB 的参数方程; (2) 若直线 AB 与曲线 C 有公共点,求? 的范围.

17. 三次函数 f (x) ? a x3 ? bx2 ? cx ? d , f ?(x) ? 9x ? 0 的解集为 (1,2) . 3
(1) 若 f ?(x) ? 7a ? 0 有两个相等的实数根,求 f ?(x) 的解析式;
(2) 若 f (x) 在 (??,??) 上单调递增,求 a 的取值范围.

18. 如图,倾斜角为? 的直线经过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点.

(1)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程;

(2)若? 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,

A

证明:|FP|-| FP |cos2 ? 为定值,并求此定值.

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解答题答案(文) CDCBCDBCAC (1,1), 2,x-y-3=0,①③④

15. f ?(x) ? ln x ?1

(1)由 f ?(x) ? ln x ?1 ? 0 解得 x ? 1 e

由 f ?(x) ? 0 解得 0 ? x ? 1 e

f (x) 的增区间为 (1 ,??) ,减区间 (0, 1)

e

e

(2) f ?(1) ? 1 所以切线方程为 y ? x ?1

16.

(1)

?x ? ?

? y

1? ?t

t cos? sin ?

(t为参数)

(2)曲线 C : 3x2 ? 2 y 2 ? 2 代入得 3(1 ? t cos? )2 ? 2(t sin ? )2 ? 2

即 (cos 2 ? ? 2)t 2 ? 6t cos? ? 1 ? 0

由 ? ? 36 cos2 ? ? 4(cos 2 ? ? 2) ? 0

解得 cos2 ? ? 1 即cos? ? 1 或cos? ? ? 1

4

2

2

又?

?

?0,?

???

?

???0,

? 3

? ??

?

? 2? ?? 3

,?

?? ?

17. 设 f (x) ? a x3 ? bx2 ? cx ? d 则 f ?(x) ? ax2 ? 2bx ? c 3

? f ?(x) ? 9x ? 0 的解集为 (1,2) ,? ax2 ? (2b ? 9)x ? c ? 0 的两根为 1,2 且 a ? 0



?9 ? ? ?

? 2b
a c?

? 2

3

得到

2b

?

9

?

3a,

c

?

2a

?a

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(1)由条件 ? ? (2b)2 ? 4a(c ? 7a) ? 0 ,代入得 a ? 1 (a ? ?3舍去)

? f ?(x) ? x2 ? 6x ? 2

(2)? f (x) 在 (??,??) 上单调递增且 a ? 0 ,? f ?(x) ? ax2 ? (9 ? 3a)x ? 2a ? 0 的解集
为 R,
? ? ? ?9 ? 3a?2 ? 8a 2 ? 0 即?a2 ? 54a ? 81 ? 0 ,解得 27 ?18 2 ? a ? 27 ?18 2

取值范围是[ 27 ? 18 2,27 ? 18 2 ].

18. (Ⅰ)解:设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px ,则 2 p ? 8 ,从而 p ? 4.

因此焦点 F( p ,0) 的坐标为(2,0). 2

又准线方程的一般式为 x ? ? p 2

从而所求准线 l 的方程为 x ? ?2 (Ⅱ)解法一:如图作 AC⊥l,BD⊥l,垂足为 C、D,则由抛物线的定义 知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记 A、B 的横坐标分别为 xxxz,则

|FA|=|AC|=

xx

?

p 2

?| FA | cos a

?

p 2

?

p 2

?|

FA | cos a

?

4 解得 |

FA |? 4 1 ? cos a



类似地有 | FB |? 4? | FB | cos a ,解得 | FB |? 4 1 ? cos a
记直线 m 与 AB 的交点为 E,则

|

FE

|?|

FA |

?

|

AE

|?|

FA |

?

|

FA

|

? 2

|

FB

|

?

1 2

(|

FA |

?

|

FB

|)

?

1 2

?? ?1?

4 cos

a

?

1?

4 cos

a

?? ?

?

4 cos a sin 2 a

所以 | FP |? | FE | ? 4 cos a sin 2 a

故 | FP | ? | FP | cos 2a ? 4 (1 ? cos 2a) ? 4·2 sin 2 a ? 8

sin 2 a

sin 2 a

解法二:设 A(xA , y A ) ,B(xB , yB ) ,直线 AB 的斜率为 k ? tan a ,则直线方程为 y ? k(x ? 2)

将此式代入

y2

? 8x

,得 k 2 x 2

?

4(k 2

?

2)x

?

4k 2

?

0 ,故 x A

?

xB

?

k(k 2 ? k2

2)

记直线 m 与 AB 的交点为 E(xE , yE ) ,则

xE

?

xA

? xB 2

?

2(k 2 ? 2) k2



4 yE ? k(xE ? 2) ? k

,故直线

m

的方程为

y

?

4 k

?

?

1 k

???? x

?

2k 2 ? k2

4 ????

.

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令 y=0,得 P 的横坐标 xP

?

2k 2 k

?
2

4

?

4



|

FP

|?

xP

4(k 2 ? 1) ?2?
k2

4 ?
sin 2 a

从而 | FP | ? | FP | cos 2a ? 4 (1 ? cos 2a) ? 4·2 sin 2 a ? 8 为定值.

sin 2 a

sin 2 a

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