高等数学课件--D96几何中的应用

发布于:2021-10-16 04:45:00

第六节 第九章 多元函数微分学的几何应用 一、一元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法*面 三、曲面的切*面与法线 18.06.2019 同济版高等数学课件 一、一元向量值函数及其导数 引例: 已知空间曲线 ? 的参数方程: z M? ???yx????((tt)) t?[?,?] r O y ??? ??z ??(t) x 记 r ? ( x , y , z )f ( t , ) ? ( ( t )( t ) ,( t ) , ) ?? ? 的向量方程 r? f(t),t? [, ] 此方程确定映射 f:[?,?]?R3,称此映射为一元向量 值函数. 对? 上的动点M , 显然 r?OM , 即? 是 r的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 . 要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性,就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念. 18.06.2019 同济版高等数学课件 定义: 给定数集 D ? R , 称映射f :D?Rn为一元向量 值函数(简称向量值函数), 记为 定义域 r?f(t),t? D 因变量 自变量 向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关, 因此下面仅以 n = 3 的情形为代表 进行讨论. 严格定义见P91 设 f ( t ) ? ( f 2 ( t ) f 1 ( t , ) f 3 ( t , )t ? ) D ,, 则 极限:l t? t 0 if( t m )? ( l t? t 0 if 1 ( t m )l t? , t 0 if2 ( m t)l t? , t 0 if3 ( m t)) 连导续数: :ltf ? i?t( 0m t) f? (t)(? f1 ?( ft) (t0f )2 , ?( t)f3 , ?( t)f) ?(t0)?tl? it0m f(t0??Δ tt)?f(t0) 18.06.2019 同济版高等数学课件 向量值函数的导数运算法则: (P91) 设 u,v是可导向量值函数, C 是常向量, c 是任一常数, ?(t) 是可导函数, 则 (1) ddtC?O (2 )d d t[cu(t)? ]cu ?(t) ( 3 )d d t[ u ( t)? v ( t)? ] u ?( t)? v ?( t) ? ? ? ( 4 )d d t [( t ) u ( t )? ] ? ( t ) u ( t ) ? ( t ) u ? ( t ) ( 5 )d d t [ u ( t ) ? v ( t )? u ] ? ( t ) ? v ( t ) ? u ( t ) ? v ? ( t ) ( 6 ) d d t [ u ( t ) ? v ( t ) ? u ] ? ( t ) ? v ( t ) ? u ( t ) ? v ? ( t ) (7) du??(t)????(t)u???(t)? dt 18.06.2019 同济版高等数学课件 例1. 设 f( t)? (c t)i? o (s s t)ji? tn k ,求 lif( m t). t? π 4 解:lif( t m )? ( li cm t) o i? ( ls i sm t) ij? n li tk m t? π 4 t? π 4 t? π 4 t? π 4 ? 2i? 2j?πk 2 24 (?f(π4)) 18.06.2019 同济版高等数学课件 向量值函数导数的几何意义: 在 R3中, 设 r?f(t)t,? D的终端曲线为? , f ?(t0) O ? f ( t M 0 )O ,? f ( t 0 N ? Δ t ) z M Δr Δr N Δ t Δ r ? f( t0 ? Δ t)? f( t0 ) ?r limΔr t?t0 Δt ? f ?(t0) O y x 设 f?(t0)?0, 则 f ?(t0) 表示终端曲线在t0处的 切向量, 其指向与t 的增长方 向一致. 18.06.2019 切线的生成 点击图中任意点动画开始或暂停 同济版高等数学课件 向量值函数导数的物理意义: 设 r?f(t)表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 速度向量:v(t)?f?(t) 加速度向量: a?v?(t) ?f??(t) 18.06.2019 同济版高等数学课件 例2. 设空间曲线? 的向量方程为 r ? f( t ) ? ( t2 ? 1 ,4 t? 3 ,2 t2 ? 6 t ) 求曲线? 上对应于 的点处的单位切向量. 解: =6 故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为(?2,?2,?1) 333 18.06.2019 同济版高等数学课件 例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺 旋式上升, 其位置向量为 求 (1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量; (2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率; (3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻. 解: (1) (3) 由 即 得t ?0, 即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交. 18.06.2019 同济版高等数学课件 二、空间曲线的切线与法*面 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位 置. 过点 M 与切线垂直的*面称为曲线在该点的法*面. 给定光滑曲线 ? ??? : f( t) ? (( t)( , t)( , t)) T 则?当 ?, ??, ??不同0时? , 为 在 ? ? 点M (x, y, z) 处的切向量及法*面的 M 法向量均为 ??? f?( t)? (?( t), ?( t), ?( t)) 点向式可建立曲线的切线方程 利用 点

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