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江宁区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

江宁区一中 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题 一、选择题
1. 如图, 已知平面 , = , . . 是直线 上的两点, 是平面 上的一动点,且有 是平面 内的两点, 且 ,则四棱锥 , , 体积的最大值是( )

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

A.

B.
x

C.

D.

2. 已知函数 f ( x) ? e sin x , 其中 x ? R , e ? 2.71828L 为自然对数的底数. 当 x ? [0, 的图象不在直线 y ? kx 的下方,则实数 k 的取值范围(
? 2

?
2

函数 y ? f ( x) ] 时,


?

A. ( ??,1)     B. ( ??,1]     C. ( ??, e )     D. ( ??, e 2 ] 【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理,意在考查逻辑思维能 力、等价转化能力、运算求解能力,以及构造思想、分类讨论思想的应用. 3. 若将函数 y=tan(ωx+ 重合,则 ω 的最小值为( A. A.1 B. B. C. C. )(ω>0)的图象向右平移 ) D. ) D.2 ) C.p 真 q 假 D.p 假 q 假 上,则 =( ) 个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+ )的图象

4. 极坐标系中,点 P,Q 分别是曲线 C1:ρ=1 与曲线 C2:ρ=2 上任意两点,则|PQ|的最小值为(   5. 若命题“p 或 q”为真,“非 p”为真,则( A.p 真 q 真   6. △ABC 中,A(?5,0) ,B(5,0) ,点 C 在双曲线 B.p 假 q 真

A. 7. 若椭圆

B. 和圆 ) C.

C.

D.± 为椭圆的半焦距) ,有四个不同的交点,则

椭圆的离心率 e 的取值范围是( A. B.

D.

8. 已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3},图中阴影部分所表示的集合为 ( )

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A.{1}

B.{1,2}

C.{1,2,3}

D.{0,1,2} )

  9. 已知函数 f(x)=x2?2x+3 在[0,a]上有最大值 3,最小值 2,则 a 的取值范围( A.[1,+∞) B.[0.2} C.[1,2] D.(?∞,2]

  10.如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体,下面结论:① BD // 平面 CB1 D1 ;② AC1 ? BD ;③ AC1 ? 平 面 CB1 D1 .其中正确结论的个数是( )

A.

B.

C.

D. ) D.?x>0,lnx<x C.?x≤0,lnx<x

11.已知命题“p:?x>0,lnx<x”,则¬p 为( A.?x≤0,lnx≥x   B.?x>0,lnx≥x

?x? y?0 ? 12.已知不等式组 ? x ? y ? 1 表示的平面区域为 D ,若 D 内存在一点 P ( x0 , y0 ) ,使 ax0 ? y0 ? 1 ,则 a 的取值 ?x ? 2 y ? 1 ?
范围为( A. ( ??, 2) ) B. ( ??,1) C. (2, ??) D. (1, ??)

二、填空题
13.设 A={x|x≤1 或 x≥3},B={x|a≤x≤a+1},A∩B=B,则 a 的取值范围是  . 14.图中的三个直角三角形是一个体积为 20 的几何体的三视图,则 h ? __________.

15.球 O 的球面上有四点 S,A,B,C,其中 O,A,B,C 四点共面,△ABC 是边长为 2 的正三角形,平面 SAB⊥平面 ABC,则棱锥 S﹣ABC 的体积的最大值为      .    

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16.已知直线 l 的参数方程是

(t 为参数),曲线 C 的极坐标方程是 ρ=8cosθ+6sinθ,则曲线 C 上到

直线 l 的距离为 4 的点个数有      个.   17.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的 数据,结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这 50 名学生这一天平均的课外阅读时间为  小时.

18.定义:[x](x∈R)表示不超过 x 的最大整数.例如[1.5]=1,[?0.5]=?1.给出下列结论: ①函数 y=[sinx]是奇函数; ②函数 y=[sinx]是周期为 2π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]?cosx 不存在零点; ④函数 y=[sinx]+[cosx]的值域是{?2,?1,0,1}. 其中正确的是      .(填上所有正确命题的编号)    

三、解答题
19.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b=6,a+c=8,求△ABC 的面积. .

20.已知向量 =(x,

y), =(1,0),且( +

)?( ?

)=0.

(1)求点 Q(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)设曲线 C 与直线 y=kx+m 相交于不同的两点 M、N,又点 A(0,?1),当|AM|=|AN|时,求实数 m 的取 值范围.  

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21.如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D、E 分别是 AC、AB 上的点,且 DE∥BC,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1D⊥CD,如图

2. (Ⅰ)求证:平面 A1BC⊥平面 A1DC; (Ⅱ)若 CD=2,求 BD 与平面 A1BC 所成角的正弦值; (Ⅲ)当 D 点在何处时,A1B 的长度最小,并求出最小值.

22.已知命题 p:?x∈[2,4],x2?2x?2a≤0 恒成立,命题 q:f(x)=x2?ax+1 在区间 若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

上是增函数.

23.(本题 12 分)已知数列 {xn } 的首项 x1 ? 3 ,通项 xn ? 2 p ? nq ( n ? N , p ,为常数) ,且 x1,x4,x5
n
*

成等差数列,求: (1) p,q 的值; (2)数列 {xn } 前项和 S n 的公式.

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24.如图,M、N 是焦点为 F 的抛物线 y2=2px(p>0)上两个不同的点,且线段 MN 中点 A 的横坐标为 , (1)求|MF|+|NF|的值; (2)若 p=2,直线 MN 与 x 轴交于点 B 点,求点 B 横坐标的取值范围.

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江宁区一中 2018-2019 学年下学期高二期中数学模拟题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积 【试题解析】由题知: 是直角三角形,又 因为 ,所以 PB=2PA。 作 令 AM=t,则 所以 又底面为直角梯形, 所以 故答案为:A 2. 【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 设 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e sin x ? kx , 且 g ( x) ? 0 在 x ? [0, ] 时 恒 成 立 , 而
x

,所以



于 M,则

。 即为四棱锥的高,

? 2

g '( x) ? e x (sin x ? cos x) ? k .令 h( x) ? e x (sin x ? cos x) ,则 h '( x) ? 2e x cos x ? 0 ,所以 h( x) 在 [0, ] 上递 2
增,所以 1 ? h( x) ? e 2 .当 k ? 1 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 [0,
?

?

?
2

] 上递增, g ( x) ? g (0) ? 0 ,符合题意;当

? ? ? k ? e 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 [0, ] 上递减, g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合;当 1 ? k ? e 2 时, g ?( x) 为一 2 ? ? 个递增函数,而 g '(0) ? 1 ? k ? 0 , g '( ) ? e 2 ? k ? 0 ,由零点存在性定理,必存在一个零点 x0 ,使得 2 g '( x0 ) ? 0 ,当 x ? [0, x0 ) 时, g '( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 x ? [0, x0 ) 上单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题

意不合,综上所述: k 的取值范围为 ( ??,1] ,故选 B. 3. 【答案】D 【解析】解:y=tan(ωx+ ∴ ? ω+kπ= ),向右平移 个单位可得:y=tan[ω(x? )+ ]=tan(ωx+ )

∴ω=k+ (k∈Z), 又∵ω>0 ∴ωmin= . 故选 D.   4. 【答案】A 【解析】解:极坐标系中,点 P,Q 分别是曲线 C1:ρ=1 与曲线 C2:ρ=2 上任意两点,

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可知两条曲线是同心圆,如图,|PQ|的最小值为:1. 故选:A.

【点评】本题考查极坐标方程的应用,两点距离的求法,基本知识的考查.   5. 【答案】B 【解析】解:若命题“p 或 q”为真,则 p 真或 q 真, 若“非 p”为真,则 p 为假, ∴p 假 q 真, 故选:B. 【点评】本题考查了复合命题的真假的判断,是一道基础题.   6. 【答案】D 【解析】解:△ABC 中,A(?5,0),B(5,0),点 C 在双曲线 ∴A 与 B 为双曲线的两焦点, 根据双曲线的定义得:|AC?BC|=2a=8,|AB|=2c=10, 则 故选:D. 【点评】本题考查了正弦定理的应用问题,也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题,是基础题目.   7. 【答案】 A 【解析】解:∵椭圆 , 且它们有四个交点, ∴圆的半径 , 和圆 为椭圆的半焦距)的中心都在原点 = =± =± . 上,

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,得 2c>b,再平方,4c2>b2,

在椭圆中,a2=b2+c2<5c2, ∴ 由 ; ,得 b+2c<2a,

再平方,b2+4c2+4bc<4a2, ∴3c2+4bc<3a2, ∴4bc<3b2, ∴4c<3b, ∴16c2<9b2, ∴16c2<9a2?9c2, ∴9a2>25c2, ∴ ∴ . . ,

综上所述, 故选 A.   8. 【答案】B

【解析】解:图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合 A 中,但不在集合 B 中. 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUB)∩A, 又 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3}, ∵CUB={x|x<3}, ∴(CUB)∩A={1,2}. 则图中阴影部分表示的集合是:{1,2}. 故选 B. 【点评】本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用等基础知识,考查数形结合思想. 属于基础题.   9. 【答案】C 【解析】解:f(x)=x2?2x+3=(x?1)2+2,对称轴为 x=1. 所以当 x=1 时,函数的最小值为 2. 当 x=0 时,f(0)=3. 由 f(x)=3 得 x2?2x+3=3,即 x2?2x=0,解得 x=0 或 x=2. ∴要使函数 f(x)=x2?2x+3 在[0,a]上有最大值 3,最小值 2,则 1≤a≤2. 故选 C.
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【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质,利用配方法是解决二次 函数的基本方法.   10.【答案】 D 【解析】

考 点:1.线线,线面,面面平行关系;2.线线,线面,面面垂直关系. 【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题,属于中档题型,多项选择题是容易出错的一个题,当考察线面平 行时, 需证明平面外的线与平面内的线平行, 则线面平行, 一般可构造平行四边形, 或是构造三角形的中位线, 可证明线线平行,再或是证明面面平行,则线面平行,一般需在选取一点,使直线与直线外一点构成平面证明 面面平行,要证明线线垂直,可转化为证明线面垂直,需做辅助线,转化为线面垂直. 11.【答案】B 【解析】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“p:?x>0,lnx<x”,则¬p 为?x>0,lnx≥x. 故选:B. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.   12.【答案】A 【解析】解析 : 本题考查线性规划中最值的求法.平面区域 D 如图所示,先求 z ? ax ? y 的最小值,当 a ? 时, ? a ? ?

1 2

1 1 1 1 1 ( 1, 0 ) ( , ) , z ? ax ? y 在点 A 取得最小值 a ;当 a ? 时, ? a ? ? , z ? ax ? y 在点 B 取 2 2 2 3 3 1 ? 1 1 ?a ? 得最小值 a ? .若 D 内存在一点 P ( x0 , y0 ) ,使 ax0 ? y0 ? 1 ,则有 z ? ax ? y 的最小值小于 1 ,∴ ? 2或 3 3 ? ?a ? 1 1 ? a? ? ? 2 ,∴ a ? 2 ,选 A. ? 1 1 ? a ? ?1 ? 3 ?3

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y

1 1 B( , ) 3 3 A(1, 0) O

x

二、填空题
13.【答案】 a≤0 或 a≥3 . 【解析】解:∵A={x|x≤1 或 x≥3},B={x|a≤x≤a+1},且 A∩B=B, ∴B?A, 则有 a+1≤1 或 a≥3, 解得:a≤0 或 a≥3, 故答案为:a≤0 或 a≥3.   14.【答案】 【解析】 试题分析:由三视图可知该几何体为三棱锥,其中侧棱 VA ? 底面 ABC ,且 ?ABC 为直角三角形,且

1 1 AB ? 5, VA ? h, AC ? 6 ,所以三棱锥的体积为 V ? ? ? 5 ? 6h ? 5h ? 20 ,解得 h ? 4 . 3 2

考点:几何体的三视图与体积. 15.【答案】   .

【解析】解:由题意画出几何体的图形如图 由于面 SAB⊥面 ABC,所以点 S 在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB 上,根据球体的对称性可知,当 S 在“最 高点”,也就是说 H 为 AB 中点时,SH 最大,棱锥 S﹣ABC 的体积最大. ∵△ABC 是边长为 2 的正三角形,所以球的半径 r=OC= 在 RT△SHO 中,OH= OC= OS CH= .

∴∠HSO=30°,求得 SH=OScos30°=1, ∴体积 V= Sh= × ×22×1= .

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故答案是



【点评】本题考查锥体体积计算,根据几何体的结构特征确定出 S 位置是关键.考查空间想象能力、计算能 力.   16.【答案】 2 

【解析】解:由

,消去 t 得:2x?y+5=0,

由 ρ=8cosθ+6sinθ,得 ρ2=8ρcosθ+6ρsinθ,即 x2+y2=8x+6y, 化为标准式得(x?4)2+(y?3)2=25,即 C 是以(4,3)为圆心,5 为半径的圆. 又圆心到直线 l 的距离是 故曲线 C 上到直线 l 的距离为 4 的点有 2 个, 故答案为:2. 【点评】本题考查了参数方程化普通方程,考查了极坐标方程化直角坐标方程,考查了点到直线的距离公式的 应用,是基础题.   17.【答案】 0.9  ,

【解析】解:由题意, 故答案为:0.9   18.【答案】 ②③④ 

=0.9,

【解析】解:①函数 y=[sinx]是非奇非偶函数; ②函数 y=[sinx]的周期与 y=sinx 的周期相同,故是周期为 2π 的周期函数; ③函数 y=[sinx]的取值是?1,0,1,故 y=[sinx]?cosx 不存在零点; ④函数数 y=[sinx]、y=[cosx]的取值是?1,0,1,故 y=[sinx]+[cosx]的值域是{?2,?1,0,1}. 故答案为:②③④. 【点评】本题考查命题的真假判断,考查新定义,正确理解新定义是关键.  

三、解答题
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19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由 2bsinA= 又∵B 为锐角, ∴B= ,???????????????????? a,以及正弦定理 ,得 sinB= ,

(Ⅱ)由余弦定理 b2=a2+c2?2accosB, ∴a2+c2?ac=36, ∵a+c=8, ∴ac= ∴S△ABC=   20.【答案】 【解析】解:(1)由题意向量 =(x, ∴ 化简得 , .… y), =(1,0),且( + , )?( ? )=0, , = .???????????????????

∴Q 点的轨迹 C 的方程为 (2)由

得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2?1)=0,

由于直线与椭圆有两个不同的交点,∴△>0,即 m2<3k2+1.①… (i)当 k≠0 时,设弦 MN 的中点为 P(xP,yP) ,xM、xN 分别为点 M、N 的横坐标,则 , 从而 , ,…

又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN. 则 ,即 2m=3k2+1,② ,解得 ,

将②代入①得 2m>m2,解得 0<m<2,由②得 故所求的 m 的取值范围是( ,2).… (ii)当 k=0 时,|AM|=|AN|,∴AP⊥MN,m2<3k2+1, 解得?1<m<1.… 综上,当 k≠0 时,m 的取值范围是( ,2), 当 k=0 时,m 的取值范围是(?1,1).…

【点评】本题考查轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查小时分析解决问题的能力,属于中档题.

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  21.【答案】 【解析】 【分析】(Ⅰ)在图 1 中,△ABC 中,由已知可得 : AC⊥DE.在图 2 中,DE⊥A1D,DE⊥DC,即可证明 DE ⊥平面 A1DC,再利用面面垂直的判定定理即可证明. (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,设平面 A1BC 的法向量为 ,利用 ,BE 与平

面所成角的正弦值为

. =

(Ⅲ) 设 CD=x(0<x<6) , 则 A1D=6﹣x, 利用

(0<x<6),即可得出. 【解答】(Ⅰ)证明:在图 1 中,△ABC 中,DE∥BC,AC⊥BC,则 AC⊥DE, ∴在图 2 中,DE⊥A1D,DE⊥DC, 又∵A1D∩DC=D,∴DE⊥平面 A1DC, ∵DE∥BC,∴BC⊥平面 A1DC, ∵BC?平面 A1BC,∴平面 A1BC⊥平面 A1DC. (Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系:A1(0,0,4)B(3,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0), E(2,0,0). 则 , , 设平面 A1BC 的法向量为 则 ,解得 ,即

则 BE 与平面所成角的正弦值为 (Ⅲ)解:设 CD=x(0<x<6),则 A1D=6﹣x,在(2)的坐标系下有:A1(0,0,6﹣x),B(3,x,0), ∴ = = (0<x<6), 即当 x=3 时,A1B 长度达到最小值,最小值为 .

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22.【答案】 【解析】解:?x∈[2,4],x2?2x?2a≤0 恒成立, 等价于 a≥ x2?x 在 x∈[2,4]恒成立, 而函数 g(x)= x2?x 在 x∈[2,4]递增, 其最大值是 g(4)=4, ∴a≥4, 若 p 为真命题,则 a≥4; f(x)=x2?ax+1 在区间 对称轴 x= ≤ ,∴a≤1, 若 q 为真命题,则 a≤1;? 由题意知 p、q 一真一假, 当 p 真 q 假时,a≥4;当 p 假 q 真时,a≤1, 所以 a 的取值范围为(?∞,1]∪[4,+∞).   23.【答案】(1) p ? 1, q ? 1 ;(2) S n ? 2
n ?1

上是增函数,

?2?

n(n ? 1) . 2

考 点:等差,等比数列通项公式,数列求和. 24.【答案】 【解析】解:(1)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=8?p,|MF|=x1+ ,|NF|=x2+ , ∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8; (2)p=2 时,y2=4x, 若直线 MN 斜率不存在,则 B(3,0); 若直线 MN 斜率存在,设 A(3,t)(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则 代入利用点差法,可得 y12?y22=4(x1?x2)

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∴kMN= , ∴直线 MN 的方程为 y?t= (x?3), ∴B 的横坐标为 x=3? ,

直线 MN 代入 y2=4x,可得 y2?2ty+2t2?12=0 △>0 可得 0<t2<12, ∴x=3? ∈(?3,3),

∴点 B 横坐标的取值范围是(?3,3). 【点评】本题考查抛物线的定义,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.  

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